Real Analysis Poster

Real Analysis is one of the hardest subject in mathematics, but using a poster probably can help to motivate student to learn more about the concept. Just like quotation:

“we just need to open the door and let them in by themselves”

 

Real Analysis in The Real World

Jika terdapat 10 mahasiswa matematika atau pendidikan matematika baik dijenjang strata satu maupun pasca sarjana ditanya, mata kuliah apa yang paling sulit? Saya yakin setidaknya 9 dari 10 mahasiswa akan menjawab “Analisis Real” betul ndak? Tidak percaya?! Coba saja survey sendiri,…. He…he..he… bahkan sekarangpun saya yang cukup mengandrungi mata kuliah ini mengakui bahwa memang tidak mudah untuk bisa menguasainya walaupun rasanya sungguh lezat dan menggoda,…..

Kebetulan di bandung ini, dosen Real saya cukup kreatif dalam menyampaikan konsep-konsep abstrak yang sering buat kening berkerut-kerut atau bahkan sakit perut seperti yang dialami salah seorang teman sekelas saya setiap tiba mata kuliah ini,.. he..he..he… dasyat ya?! Beliau, dosen saya seringkali memberikan ilustrasi-ilustrasi dari konteks kehidupan sehari-hari berkaitan dengan konsep yang cukup abstrak. Bahkan tugas akhir kamipun harus membuat sebuah makalah tentang aplikasi dari konsep-konsep abstrak tersebut dalam kehidupan sehari-hari beserta sebuah poster yang bertema analog.

Sempat terkejut juga ketika ternyata saya menemukan begitu banyak konteks-konteks nyata yang dapat membantu menjelaskan keabstrakan dari konsep-konsep dalam analisis real. Berikut beberapa saja yang ingin saya ungkapkan;

Konsep waktu dengan sistem bilangan real

Dalam sistem bilangan realterdapat suatu sifat urutan yang dinyatakan dalam pernyataan sebagai berikut;

Sifat urutan dari himpunan Real

Jika P adalah himpunan tak kosong subset dari R, maka P disebut himpunan bilangan positif kuat apabila memenuhi syarat sebagai berikut;

(i) Jika a, b anggota dari P , maka a +b juga anggota dari P

(ii) Jikaa, b anggota dari P, makaa.b juga anggota dari P

(iii) Jika a anggota dari P, maka dengan tepat satu dari relasi berikut haruus dipenuhi; a Є P,a = 0 , – aЄ P

Sedangkan beberapa definisi tentang waktu antara lain;

• Rangkaian yang bebas ruang dimana kejadian-kejadian terjadi dalam satu rangkaian yang tidak dapat berubah kembali sejak masa lalu, masa sekarang serta masa yang akan datang
• Sebuah system dimana interval-interval dihitung atau dihubungkan dengan bilangan-bilangan
• Sebuah bilangan yang maknanya dapat berupa tahun, hari atau menit.

Berdasarkan definisi-definisi di atas dapat disusun sebuah definisi waktu sebagai berikut;

Definisi waktu

Waktu adalah sebuah system yang terdiri dari serangkaian kejadian-kejadian bebas ruang yang terjadi dalam suatu rangkaian tertentu yang tidak dapat berubah serta dapat dinyatakan dalam sebuah interval dengan ukuran-ukuran tertentu yang dapat disimbolkan dengan sebuah bilangan.

Jika dicermati dari definisi 1 tentang waktu maka dapat dikaji bahwa waktu dapat dianalogikan dengan himpunan bilangan real serta memiliki sifat keter-urutan. Berikut penjelasannya;

Andaikan W adalah sebuah system waktu dan H adalah subset dari W, merupakan himpunan kejadian-kejadian yang dalam sebuah interval tertentudengan ukuran tahun maka dapat ditunjukkan bahwa H memenuhi sifat keterurutan.

(i) Jika v dan w adalah sebarang waktu yang dinyatakan dalam ukuran tahun anggota dari H maka v + wadalah juga sebuah satuan waktu yang juga anggota dari Hyaitu himpunan waktu yang dinyatakan dalam ukuran tahun. Yang dapat dijelaskan sebagai rangkaian kejadian v dan w yang terjadi dalam interval yang dinyatakan dalam ukuran tahun.

(ii) Jika v dan w adalah sebarang tahun yang dinyatakan dalam ukuran tahunanggota dari H maka v. w adalah juga sebuah satuan waktu yang juga anggota dari H. Hal ini dapat dijelaskansebagai sebuah upaya pengulangan kejadian pada interval waktu tertentu dalam ukuran tahun.

(iii) Jika v adalah sebuah anggota dari H maka berlaku sifat trikotomi di sini yaitu dapat dianalogikan sebagai berikut;

v anggota dari H yang berarti kejadian v terjadi “saat itu” atau “tahun itu”yang menunjukkan berada pada suatu interval yang termuat dalam H

v = 0 yang dapat dijelaskan berarti terjadi “saat ini” atau “tahun yang berjalan”

- v anggota dari H yang berarti yang berarti tidak terjadi kejadian v pada “ saat itu” atau “tahun itu” yang berada dalam interval H.

Berdasatkan uraian di atas maka dapat disimpulkan dalam waktu juga berlaku sifat keterurutan analog dengan sifat uurutan yang terjadi dalam system bilangan real.

Batas atas dan batas bawah

dalam system bilangan real terdapat sifat yang kenal sebagai sifat kelengkapan dari bilangan real.

JikaS adalah subset dari R maka;

(i). Sebuah elemen u anggota dari R dikatakan batas atas apabila s ≤ u untuk setiap s anggota S

(ii). Sebuah elemen w anggota dari R dikatakan batas bawah apabila s ≥ u untuk setiap s anggota S

(iii). Jika S terbatas di atas, sebuah batas atas dari S dikatakan sebagai supremum dari S apabila batas atas tersebut lebih kecil dari sebarang batas atas dari S

(iv). Jika S terbatas di bawah, sebuah batas bawah dari S dikatakan infimum dari S apabila batas bawah tersebut lebih besar dari sebarang batas bawah S

Jika ditinjau dari definisi konsep waktu maka sifat-sifat kelengkapan dalam real dapat diaplikasikan dalam banyak konteks yang berkaitan dengan waktu. Sebagai contoh sederhana adalah konteks usia manusia yang berkaitan dengan waktu.

Manusia hidup di dunia dalam interval waktu tertentu, sesuai dengan teori dalam ilmu kedokteran dan agama maka sesungguhnya sejak dalam kandungan manusia sudah dapat dikatakan hidup dalam yang memiliki arti bernyawa. Maka, dapat dianalogikan bahwa batas bawah usia seorang manusia yang hidup adalah masa kehidupan dalam kandungan selama kurang lebih 9 bulan, kemudian batas atas dari usia manusia adalah masa sesudah kematian atau sudah tidak lagi bernyawa hingga suatu saat nanti akan mengalami fase kehidupan yang lain*)<!–[if !supportFootnotes]–>[1]<!–[endif]–>. Berikut ilustrasi dalam sebuah garis kehidupan manusia

Dari gambar tersebut dapat dilihat konsep dalam kehidupan yang sangat dekat dengan manusia sebagai individu sekaligus mahluk Tuhan memiliki batas bawah serta batas atas atas usia yang berkaitan erat dengan konsep waktu. Selain itu, dari gambar juga dapat terlihat dengan jelas bahwa “kelahiran” merupakan batas bawah terbesar dari interval “kehidupan manusia di dunia” dan “kematian” merupakan batas atas terkecil dari “kehidupan manusia di dunia”.Konsep ini berlaku untuk setiap manusia yang hidup di dunia.

Konsep ini sesuai dengan firman Allah swt dalam surat Al-Mukmin : 67 ;

“Dia-lah yang menciptakan kamu dari tanah kemudian dari setetes, air mani, sesudah itu dari segumpal darah, kemudian dilahirkannya kamu sebagai seorang anak, kemudian (kamu dibiarkan hidup) supaya kamu sampai kepada masa (dewasa), kemudian (dibiarkan kamu hidup lagi) sampai tua, di antara kamu ada yang diwafatkan sebelum itu. (Kami perbuat demikian) supaya kamu sampai kepada ajal yang ditentukan dan supaya kamu memahami (nya)”

Nah, apakah kita sudah paham ternyata dalam bait di atas ternyata terkandung makna yang dalam tentang arti perjalanan hidup manusia?! Yang ternyata juga dapat dianalogikan dengan konsep supremum dan infimum dalam topologi ruang kartesius sebagian dari Analisis real.

Selain dalam konteks kehidupan manusia, konsep sifat kelengkapan dari real ini juga dapat digunakan untuk mengkaji tentang awal dan akhir dari dunia yang mungkin menjadi pertanyaan banyak manusia. Mau coba?1 Silahkan saja, tidak rumit kok. Atau mau memcoba memberi contoh lain?…… ternyata banyak lho,….. bahkan dalam sarapan pagipun saya bisa melihatnya lho….

Nah, setuju kan kalau ternyata Analisis real itu terlihat lebih sederhana ketika dilirik dari kaca mata dunia sekitar kita

Hal ini sesuai dengan keyakinan penulis bahwa akan terdapat fase kehidupan yang lain

Sejarah Peluang dan Statistika

Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar.

Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565,  Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluan, yaitu:

Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan.

Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.

Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.

Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:

Ø Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh  mata dadu yang muncul keduanya angka 6.

Ø Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat  mata dadu 1 sebanyak tiga kali.

Ø Probleme des partis (Problem of Point)

Dua pemain judi P1 dan P2 sepakat untuk bermain “fair games” sampai salah satu dari mereka menang dengan nilai tertentu dari N kali permainan. Permainannya tiba-tiba dihentikan. P1 menang N1 kali permainan dan P2 menang N2 permainan. Bagaimana seharusnya membagi taruhannya?

Pada awalnya Pascal mempunyai rencana untuk menulis karya tentang problema of point ini atau yang disebut aleae geometría tetapi tidak pernah menulisnya,

Ø Dua orang melempar sebuah mata uang logam secara bergantian, setiap muncul muka orang pertama akan memperoleh 1 point, bila yang muncul adalah belakang maka pemain kedua yang mendapat 1 point. Jika orang pertama sudah mendapat 100 point maka orang tersebut akan mendapat uang $1000.

Bila pemain pertama mempunyai 100-m point,dan pemain kedua mempunyai 100- n point , berapa peluang pemain pertama akan menang

Di awal tahun 1656, Christiaan Huygens menulis naskah Van Rekeningh in Spelen van Geluck. Van Rekeningh in Spelen van Geluck adalah risalat singkat terdiri dari 15 halaman, yang kemungkinan didasarkan atas apa yang dilihat Huygen selama dia menetap di paris pada tahun-tahun sebelumnya tentang surat menyurat antara Pascal dan Fermat. Pada bentuk akhirnya, tulisan ini memuat 14 masalah (Voorstellen) dengan solusi atau buktinya dan 5 masalah yang harus diselesaikan oleh pembaca. Lima masalah terakhir adalah sebagian dari masalah Fermat dan Pascal. Masalah terakhir dari kelima masalah tersebut pada akhirnya dikenal sebagai “Gambler’s ruin” dan bagian-bagian dari surat menyurat Pascal dan Fermat yang di terbitkan pada tahun 1656.

Pada tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu:

1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano

2. Permutasi dan Kombinasi

3. Distribusi Binomial dan Multinomial

4. Teori Peluang

5. Law Large Number (Hukum Bilangan Besar)

Jaques (Jacob) Bernoulli adalah orang yang pertama mengenalkan hukum bilangan besar (LLN). Dia mengerjakan dan mengembangkannya selama lebih dari 20 tahun, dan mempublikasikannya pada Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) pada tahun 1713. Dia menamakannya dengan teorema keemasan yang kemudian lebih dikenal dengan teorema Bernoulli. S.D Poisson menamakannya dengan La loi des Grand Nomber (The law Large Number). Setelah Bernoulli dan Poisson mempublikasikan LLN, maka matematikawan lainnya yang mengembangkan LLN adalah Chebysev, Markov, Borel, Cantelli dan Kolmogorov. Mereka menghasilkan apa yang kita kenal dengan Weak law Large Number dan Strong Large Number.

Law Large Number (LLN)

Hukum bilangan besar (LLN) adalah teorema pada peluang yang menggambarkan stabilitas yang lama dari suatu variable random. Jika kita diberikan suatu sample random dari variable random yang identik dan independent (iid) dengan mean dan variannya finite, maka rata-rata sample akan mendekati rata-rata populasi.

Misalnya ketika kita melempar mata uang logam, maka frekuensi munculnya angka atau gambar akan mendekati 50 %, perbedaan frekuensi munculnya angka atau gambar tidak besar, contohnya kita akan mendapat munculnya angka sebanyak 520 kali dalam 1000 lemparan, dan 5096 kali dalam 10000 kali lemparan.

Kemudian pada tahun 1711, Abraham de Moivre yang lahir di French Hugesenot pada tanggal 26 Mei 1667, dan wafat di London 27 November 1754 , menerbitkan buku yang berjudul Doctrine of Chances, yang diantaranya memuat Ars Conjectandi. Selain memuat Ars Conjectandi, buku ini juga memuat mengenai teori dari permutasi dan kombinasi yang berpangkal dari probabilitas, contohnya:

Diketahui dari huruf-huruf a,b,c,d,e,f diambil dua huruf, maka peluang terambilnya huruf pertama adalah 1/6, peluang terambilnya huruf kedua adalah 1/5. Jadi peluang terambilnya dua huruf tersebut adalah (1/6)(1/5) = 1/30.

Selain itu karya de Moivre adalah teorema limit pusat dan distribusi normal. Abraham de Moivre adalah orang yang pertama memperkenalkan distribusi normal pada tahun 1737, kemudian ditulis ulang pada tahun 1738 dengan judul The Doctrine of Chances, yang membahas pendekatan distribusi binomial untuk n yang besar. Hasil ini diperluas oleh Laplace dalam buku Analytical Theory of Probabiliteis pada tahun 1812, yang sekarang dikenal dengan teorema De Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk menganalisis percobaannya. Karena grafik probalitasnya mirip lonceng maka Jouffret pada tahun 1872 memberi nama kurva lonceng (bell curve) .Nama distribusi normal diberikan oleh S.Pierce, Francis Galton dan Wilhelm Lexis pada tahun 1875.

Sejarah dari teorema limit pusat adalah sangat menarik, teorema ini dirumuskan pertama kali oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733. Moivre menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan banyaknya muncul muka (head) pada pelantunan mata uang. Penemuan ini hampir terlupakan, sebelum akhirnya matematikawan Perancis yang bernama Pierre Simon Laplace mengenalkannya dalam tulisan Theorie Analytique des Probabilities, yang dipublikasikan pada tahun1812. Laplace memperkirakan distribusi dari orbit komet dengan distribusi binomial. Pada abad ke 19 teorema limit pusat dirumuskan secara umum dan dibuktikan oleh matematikawan Rusia yang bernama Aleksander Lyapunov.

Berbeda dengan sejarah peluang yang berawal dari sebuah perjudian, statistika berawal dari kegiatan pengumpulan data yang dilakukan oleh John Graunt di Eropa pada tahun 1662, hal ini merupakan awal munculnya statistika deskriptif. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah- istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium (dewan negara) dan bahasa Italia statista (negarawan atau politikus). Pada tahun 1749 Gottfried Achenwall menggunakan Statistika dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai ilmu tentang Negara (state). Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi “ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data“. Nama dan pengertian statistik pertama kali diperkenalkan dalam bahasa Inggris oleh Sir John Sinclair . Jadi statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administrasif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada tahun yang sama juga, tahun 1662 John Graunt mulai menerbitkan karya miliknya yaitu Observation on the bills of mortality. John Graunt merupakan orang pertama yang menyingkat data ke dalam tabel. Dia juga membicarakan tentang reliabilitas data. John Graunt pula orang pertama yang mendemonstrasikan secara statistik bahwa jumlah dari pria dan wanita mendekati sama dan perbandingan jenis kelamin pada saat kelahiran stabil. Dia adalah orang pertama yang membentuk tabel hidup, yang membentuk kajian tentang asuransi jiwa secara matematik. Dari data yang terkumpul tersebut juga memicu lahirnya teknik pentabelan yang dilakukan oleh Edmon Halley pada tahun 1693. Seiring dengan perkembangan tori-teori probabilitas antara tahun 1713 – 1812, Galton yang semasa hidupnya menghasilkan 340 lebih tulisan dan buku,  mempelajari fenomena korelasi dan regresi terhadap nilai rata-rata dan nilai tengah dan menggunakan metode statistik untuk mempelajari perbedaan pada sifat manusia dan warisan kecerdasan dengan menggunakan daftar pertanyaan-pertanyaan.

Penemuan-penemuan tersebut memicu lahirnya statistika inferensial yang diawali oleh Pearson pada tahun 1900 dengan Chi Square Test. Selain Chi Square Test, dengan menggunakan korelasi dan regresi linear, Pearson membuat model 3 dimensi sebagai model pengumpulan data dalam penelitian di Departemen Sains Statistik. Selain itu juga Pearson menggunakan distribusi probabilitas sebagai dasar untuk teori statistic modern.

Seorang kimiawan muda William Gosset atau yang lebih dikenal dengan panggilan “student” menggunakan ketidak cocokan penggunaan kurva normal untuk ukuran sampel kecil. Bersama seorang professor, ia merumuskan penemuannya pada tahun 1908. Ia menyebutnya dengan distribusi “student”. Penemuannya kurang mendapat perhatian terkecuali setelah dimasukkan ke dalam buku ajar statistika modern yang pertama yang ditulis oleh Sir Ronald Fisher 20 tahun kemudian. Pada tahun 1925, Fisher mempublikasikan buku yang berjudul Statistical Methods for Research Workers. Di buku tersebut, Fisher menuliskan mengenai ANAVA.

Sekitar tahun 1943-1946 penemuan-penemuan baru muncul seperti yang diperkenalkan oleh Cramer dan M. G Kendall yang mengkaji metode non parametric dengan menggunakan statistika inferensi. Satatistika non parametric muncul karena kebutuhan berdasarkan syarat yang tidak terpenuhi oleh statistika parametric. Pada tahun 1945 Frank Wilcoxon menemukan satu uji, yang kemudian lebih dikenal dengan uji Wilcoxon.

Pada periode tahun 1950-1980 cakupan mengenai teori peluang dan statistic meningkat dengan munculnya bidang baru seperti teori antrian. William Feller mengembangkan topik-topik statistic tingkat lanjut seperti rantai markov. Pada tahun 1950, Rudolf Carnap menerbitkan risetnya yang berjudul Logical Fondation of Probabity yang berisi derajat informasi (degree of confirmation) dan frekuensi relatif. W.Edward Deming meneliti tentang kualiti control dan banyak perusahaan mengambil metode ini. Austin Bradford Hill mengembangkan statistik pada bidang kesehatan dan epidemiologi. Bradford mempelopori trial klinik random dan mendemonstrasikan hubungan antara kebiasaan merokok dengan penyakit kangker paru-paru. Quetelet mengaplikasikan teori peluang pada sensus. Semenjak tahun 1970 keuangan menjadi bagian penting dari penerapan teori peluang. Ito mengembangkan kalkulus stokastik pada tahun 1940 dan diterapkan pada model Black-Scholes. Black dan Scholes memenangkan hadiah nobel pada bidang ekonomi.

Periode tahun 1980an ditandai dengan mulainya penggunaan komputer dalam mengolah data statistik, dengan menggunakan komputer kita dapat menghemat waktu dalam mengolah data statistik, dan muncul aktifitas baru yang berkenaan dengan statistic. Tabel statistik menjadi lebih mudah dihasilkan, data yang besar dapat dengan mudah dianalisis secara mendalam dan lengkap. Pada awal abad ke 20 ketika Student(1908) menulis tentang distribusi normal dan Yule (1926) tentang korelasi, mereka menggunakan sampling dan berfaedah dalam menghasilkan tabel, dengan komputer menerapkan percobaan Montecarlo menjadi mungkin. Percobaan montecarlo adalah cara standar untuk menyelidiki tingkah laku yang finit pada prosedur statistik. Semenjak tahun 1980 metode montecarlo sudah digunakan secara luas. Walker menekankan statistic pada spikologi dan pendidikan.

Demikian uraian singkat tentang sejarah Peluang dan Statistika dalam Matematika. Tulisan ini hanya memberikan gambaran secara umum tentang sejarah lahir dan berkembangnya teori peluang dan statistika beserta tokoh-tokohnya. Semoga uraian singkat ini dapat memberikan gambaran umum tentang hubungan antara peluang dan statistika. Semoga dengan mengatahui sejarah dan tokoh-tokoh yang berperan dalam mengembangan konsep peluang dan statistika dapat membangkitkan minat dan motivasi untuk mempelajari dan mengembangkan teori peluang dan statistika ini.

Daftar Pustaka

1. Boyer,Carl B. A History of Mathematics, Jhon Wiley & Son , 1968
2. Anglin W.S,Mathematics: A Concise History and Philosophy,Springer Verlag, 1994
3. www.wikipedia  .com

Daftar Situs Rujukan :

http://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/stathist.htm

http://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/galileo.htm

http://www.ac.wwu.edu/~stephan/Graunt/1.html

 

ttp://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/1stword.htm#POISSOND

http://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/galileo.htm

http://www.pierre-marteau.com/editions/1693-mortality.html

 

http://www.ac.wwu.edu/~stephan/Graunt/1.html

http://www.ac.wwu.edu/~stephan/Graunt/8.html

http://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/1stword.htm#chi2

 

Pembagian dengan Nol

Sebetulnya masalah pembagian dengan nol ini, saya renungkan sudah sejak lama sekali. Kira-kira tahun 2004 dulu. Namun sempat datang dan pergi karena masih belum yakin dengan apa yang saya pikirkan. Beberapa bulan yang lalu, ketika saya sakit, saya kembali teringat akan masalah pembagian dengan nol ini, dipicu oleh sebuah statement seorang teman yang mengomentari hilangnya kunci kamar kos saya sebagai berikut; “menurut hukum konservasi energi, kunci Mba Ida tidak hilang tapi hanya berpindah tempat saja”

Dari sini, saya merenungi makna kehilangan, sebetulnya pada kasus ini memang jelas segala sesuatu yang kita anggap hilang pada hakikatnya bukanlah musnah hanya berpindah tempat tanpa sepengetahuan kita. Namun lebih dari itu, saya pikir segala sesuatu di dunia ini pada hakekatnya tidak ada yang “musnah” begitu saja. Kayu yang terbakar tidak berarti musnah, hanya berubah massa dan bentuknya saja. Demikian pula sampah yang terurai, sesungguhnya hanya wujudnya saja yang membusuk namun dibalik itu semua sebagai sebuah energi mereka tetap eksis. Air yang mengeringpun demikian, tidak lenyap begitu saja dari tempat dimana air itu berada, namun berubah menjadi uap karena pengaruh suhu. Coba, renungkan adakah materi yang benar-benar dapat musnah di muka bumi ini?

Hingga saat ini, saya tidak dapat menemukannya walaupun hanya sebuah. Apakah sekarang sahabat bertanya-tanya, “jika demikian apa hubungannya dengan konsep pembagian dengan nol?”

Sebelum melangkah ke sana, saya ingin sedikit mengulas sebuah berita yang dengan tidak sengaja saya ketemukan ketika sedang mencari bahan untuk sebuah tulisan ringan tentang “Himpunan Cantor” yang saya pelajari pada mata kuliah Analisis Real. Berita tersebut ditulis oleh wartawan BBC Ollie Williams, kurang lebih inti beritanya adalah ada seorang guru “James Anderson” (University of Reading Academic) yang menemukan solusi dari sebuah permasalah berusia 1200 tahun yaitu pembagian dengan nol. Dr. james ini mengatakan bahwa “nullity” adalah sebuah bilangan tertentu dengan nilai 0/0. Sehingga operasi aritmatika berlaku pula untuk bilangan ini. Hal ini tentu saja mengundang ribuan komentar terutama dari kalangan matematikawa yang menolak dengan keras. Selama ini , 0/0 dalam matematika hasilnya adalah “tak tentu” dan pembagian dengan nol (dimana pembilang tidak sama dengan nol) dalam matematika tidak terdefinisi. Perhatikan! Kata tersebut berbunyi “tidak terdifinisi” bukan “tidak didefinisikan”. Memang apa beda kedua frase tersebut? Ya jelas berbeda. Makna frase “tidak didefinisikan” berarti memang dengan sengaja hal itu dilakukan, contohnya adalah konsep titik pada sistem geometry, titik memang tidak didefinisikan, terkadang dia disebut juga sebagai pengertian pangkal. Sedangkan “tidak terdifinisi” berarti tidak dapat didefinisikan. Nah, sekarang sesorang yang bukan berlatar belakang matematika mendefinisikan hal yang tidak terdefinisi dalam matematika, apakah ini salah? Tentu saja tidak. Sah-sah saja siapapun berusaha untuk melakukan sebuah revolusi teori(demikian Dr. James mengungkapkannya) hanya saja perlu diketahui bahwa matematika adalah ilmu tentang pola keteraturan, struktur yang terorganisir, bersifat deduktif yang tidak menerima generalisasi berdasarkan observasi induktif semata. Jika “nullity” ini didefinisikan sebagai sebuah bilangan, maka jika saya tanya bagian dari himpunan bilangan apa 0/0 itu? Tentu saja menjadi tidak dapat terjawab. Bahkan jika 0/0 ini adalah sebuah bilangan, maka akan terjadi kekacauan berpikir, coba perhatikan 3 x 0 = 0 dan 5 x 0 = 0 sehingga 3 x 0 = 5 x 0 ; 3 x 0/0 = 5 x 0/0 ; 3 = 5 . Nah Lho! Fatal kan akibatnya? Jadi bukan sebuah sinisisme jika ribuan matematikawan dan pendidik matematika memberi komentar miring pada berita ini.

Beralih dari “nullity” yang diungkapkan Dr. James. Saya ingin mengungkapkan apa yang selama ini saya pikirkan. Bagi saya, pembagian dengan nol(dengan pembilang tidak sama dengan nol) pada hakekatnya adalah sebuah usaha “pemusnahan suatu materi” Wuih,…. kayaknya ngeri banget ya?! Justru sebaliknya ini sederhana saja kok. Pembagian pada hakekatnya adalah pengurangan berulang. Contoh; 6 permen dibagi untuk 2 anak, maka masing-masing anak mendapatkan 3 permen. Ini berasal dari 6 dikurangi 2 sebanyak tiga kali hingga permennya habis. Atau, teman saya lebih suka menggunakan karung, “200 liter beras dibagi ke dalam 5 karung” maka masing-masing karung mendapatkan 40liter beras”. Artinya 200 beras tadi dimasukkan(hingga habis) ke dalam beberapa tempat baru yang disediakan dengan masing-masing tempat mendapatkan besaran yang sama. Nah sekarang, kalau 200liter beras dibagi 0 keranjang, beras itu harus habis tetapi keranjangnya tidak ada( ketika diskusi, sebetulnya saya mau jawab “ya diganti karung aja to” Jhe..he..he) itu artinya beras itu harus musnah (menurut saya). Dalam matematika 0 adalah sebuah bilangan namun beberapa non-matematikawan beranggapaan bahwa nol bukanlah sebuah bilangan karena sesorang tidak mungkin memiliki sesuatu sebanyak nol. (bukankah memiliki sesuatu sebanyak nol ekivalen dengan tidak memiliki apa-apa?….. ini kan dapat dengan sederhana dijelaskan menggunakan logika “implikasi” dan kontraposisinya)

saya menenukan bahwa dengan memaknai konsep ini saya semakin memahami Ke-Maha Absolutan Tuhan. Bahwa pada hakekatnya tidak ada satupun yang dapat memusnahkan massa (yang telah diciptakan Tuhan) di dunia ini. Membagi dengan nol mempunyai makna “memusnahkan apa yang dibagi” oleh karena itu dalam matematika setiap pembagian dengan nol tak terdefinisi. Bagaimana dengan kasus 0/0? Dengan konsep yang sama maka kita akan mendapatkan jawab “nol” atau “tak tentu” bahkan “tak berhingga” banyaknya jawaban yang akan diperoleh. 0/0 dapat diilustrasikan massa dengan besaran nol akan dimasukkan ke dalam keranjang-keranjang (yang tidak ada) sehingga tentu saja hasilnya ya “ketiadaan” itu sendiri. Pada dasarnya berapapun keranjang yang disediakan, ya bisa saja didistribusikan merata massa dengan besaran nol karena akan memberikan hasil yang sama untuk setiap keranjangnya berapun keranjang yang disediakan.

Secara aritmatika, ini lebih mudah dipahami;

0/0 = 1 , karena 0 = 0 x 1; 0/0 = 5 , karena 0 = 5 x 0 dan seterusnya bahkan untuk seluruh anggota bilangan kompleks sekalipun akan memenuhi aturan tersebut.

Masalahnya bagaimana jika pembagian dengan nol dilihat melalui kacamata limit, seperti yang diyakini teman saya, bahwa suatu bilangan yang bukan nol jika dibagi nol maka hasilnya adalah tak hingga. Hal ini sebetulnya menjelaskan limit x à 0 dari 1/x dan ini tidaklah sama dengan konsep pembagian, kenapa? Karena limit itu berlaku pada barisan, yang dapat dipandang sebagai pemetaan dari himpunan bilangan asli ke Riil atau riil dimensi p. Nah, jika nol yang dioperasikan terdapat pada semesta himpunan bilangan bulat maka hal ini tidak bisa dilakukan karena dapat ditemukan lingkungan dari x yang jika terdapat suatu bilangan asli k maka untuk setiap n anggota N, menyebabkan 1/x termuat dalam lingkungan dari x. Nah lho pusingkan?! (saya juga! He..he..he..) maksudnya gini deh,… limit itu intinya adalah nilai pendekatan, jadi x mendekati nol itu tidak berarti x = 0, nah untuk semsta ini tentu saja ada nilai x mendekati nol, contoh 0.0000000000000001 namun pada semesta bilangan bulat nilai ini tidak ada. Nol ya hanya nol.

Rasanya pendapat saya bahwa pembagian bilangan bukan nol dengan nol itu merupakan usaha pemusnahan materi di semesta alam raya sejalan dengan kesepakatan para matematikawan bahwa pembagian dengan nol tidak terdifinisi. Pembagian suatu bilangan bukan nol dengan nol sama artinya dengan memusnahkan total sesuatu materi di alam dunia ini padahal hal ini tidak mungkin terjadi karena pada dasarnya segala yang terdapat didunia tidak dapat musnah tiada begitu saja melainkan hanya berubah bentuk, massa atau energinya, atau hanya sededar berpindah tempat bahkan sesuatu yang tidak terlihat sekalipun seperti angin dan gelombang. Hanya Tuhanlah yang mampu memusnahkan ciptaannya, Dia yang Maha Kuasa menciptakan dari ketiadaan menjadi ada dan akan meniadakan apa yang ada walaupun “Ketiadaan”-Nya tiada meniadakan AdaNya.

Seperti melakukan pembuktian dari pernyataan “ jika x anggota bilangan complek dan x tidak sama dengan nol maka x/0 tidak terdifinisi”( Mengapa saya memilih x yang merupakan anggota bilangan komplek? Karena ini adalah semesta terbesar dari himpunan bilangan yang biasa kita kenal).Dengan teknik reduksio ad absurdum; Andaikan x/0 terdifinisi, misal sama dengan α, maka x/0 = α hal ini menyebabkan x = 0 . ini bertentangan dengan pernyataan bahwa x tidak sama dengan nol. Oleh karena itu pengandaian harus diingkar. Dengan sudut pandang yang lain maka andaikan pembagiansebarang bilangan bukan nol terdifinisi maka artinya kita memusnahkan suatu materi di alam ini, hal ini tidak mungkin karena hanya Tuhan yang mampu melakukannya dengan segala Ke-Maha Besaran-Nya.

(Saya berlindung kepada Tuhan dari segala dampak negatif tulisan ini, semoga dengan pemikiran ini dapat menuntun kita agar bertambah yakin akan Ke-MahaBesaran Tuhan tulisan ini masih akan bertumbuh, ……………… setelah terendap lama, suatu ketika dibulan Mei saya berani mempublikasikannya)