Pembagian dengan Nol


Sebetulnya masalah pembagian dengan nol ini, saya renungkan sudah sejak lama sekali. Kira-kira tahun 2004 dulu. Namun sempat datang dan pergi karena masih belum yakin dengan apa yang saya pikirkan. Beberapa bulan yang lalu, ketika saya sakit, saya kembali teringat akan masalah pembagian dengan nol ini, dipicu oleh sebuah statement seorang teman yang mengomentari hilangnya kunci kamar kos saya sebagai berikut; “menurut hukum konservasi energi, kunci Mba Ida tidak hilang tapi hanya berpindah tempat saja”

Dari sini, saya merenungi makna kehilangan, sebetulnya pada kasus ini memang jelas segala sesuatu yang kita anggap hilang pada hakikatnya bukanlah musnah hanya berpindah tempat tanpa sepengetahuan kita. Namun lebih dari itu, saya pikir segala sesuatu di dunia ini pada hakekatnya tidak ada yang “musnah” begitu saja. Kayu yang terbakar tidak berarti musnah, hanya berubah massa dan bentuknya saja. Demikian pula sampah yang terurai, sesungguhnya hanya wujudnya saja yang membusuk namun dibalik itu semua sebagai sebuah energi mereka tetap eksis. Air yang mengeringpun demikian, tidak lenyap begitu saja dari tempat dimana air itu berada, namun berubah menjadi uap karena pengaruh suhu. Coba, renungkan adakah materi yang benar-benar dapat musnah di muka bumi ini?

Hingga saat ini, saya tidak dapat menemukannya walaupun hanya sebuah. Apakah sekarang sahabat bertanya-tanya, “jika demikian apa hubungannya dengan konsep pembagian dengan nol?”

Sebelum melangkah ke sana, saya ingin sedikit mengulas sebuah berita yang dengan tidak sengaja saya ketemukan ketika sedang mencari bahan untuk sebuah tulisan ringan tentang “Himpunan Cantor” yang saya pelajari pada mata kuliah Analisis Real. Berita tersebut ditulis oleh wartawan BBC Ollie Williams, kurang lebih inti beritanya adalah ada seorang guru “James Anderson” (University of Reading Academic) yang menemukan solusi dari sebuah permasalah berusia 1200 tahun yaitu pembagian dengan nol. Dr. james ini mengatakan bahwa “nullity” adalah sebuah bilangan tertentu dengan nilai 0/0. Sehingga operasi aritmatika berlaku pula untuk bilangan ini. Hal ini tentu saja mengundang ribuan komentar terutama dari kalangan matematikawa yang menolak dengan keras. Selama ini , 0/0 dalam matematika hasilnya adalah “tak tentu” dan pembagian dengan nol (dimana pembilang tidak sama dengan nol) dalam matematika tidak terdefinisi. Perhatikan! Kata tersebut berbunyi “tidak terdifinisi” bukan “tidak didefinisikan”. Memang apa beda kedua frase tersebut? Ya jelas berbeda. Makna frase “tidak didefinisikan” berarti memang dengan sengaja hal itu dilakukan, contohnya adalah konsep titik pada sistem geometry, titik memang tidak didefinisikan, terkadang dia disebut juga sebagai pengertian pangkal. Sedangkan “tidak terdifinisi” berarti tidak dapat didefinisikan. Nah, sekarang sesorang yang bukan berlatar belakang matematika mendefinisikan hal yang tidak terdefinisi dalam matematika, apakah ini salah? Tentu saja tidak. Sah-sah saja siapapun berusaha untuk melakukan sebuah revolusi teori(demikian Dr. James mengungkapkannya) hanya saja perlu diketahui bahwa matematika adalah ilmu tentang pola keteraturan, struktur yang terorganisir, bersifat deduktif yang tidak menerima generalisasi berdasarkan observasi induktif semata. Jika “nullity” ini didefinisikan sebagai sebuah bilangan, maka jika saya tanya bagian dari himpunan bilangan apa 0/0 itu? Tentu saja menjadi tidak dapat terjawab. Bahkan jika 0/0 ini adalah sebuah bilangan, maka akan terjadi kekacauan berpikir, coba perhatikan 3 x 0 = 0 dan 5 x 0 = 0 sehingga 3 x 0 = 5 x 0 ; 3 x 0/0 = 5 x 0/0 ; 3 = 5 . Nah Lho! Fatal kan akibatnya? Jadi bukan sebuah sinisisme jika ribuan matematikawan dan pendidik matematika memberi komentar miring pada berita ini.

Beralih dari “nullity” yang diungkapkan Dr. James. Saya ingin mengungkapkan apa yang selama ini saya pikirkan. Bagi saya, pembagian dengan nol(dengan pembilang tidak sama dengan nol) pada hakekatnya adalah sebuah usaha “pemusnahan suatu materi” Wuih,…. kayaknya ngeri banget ya?! Justru sebaliknya ini sederhana saja kok. Pembagian pada hakekatnya adalah pengurangan berulang. Contoh; 6 permen dibagi untuk 2 anak, maka masing-masing anak mendapatkan 3 permen. Ini berasal dari 6 dikurangi 2 sebanyak tiga kali hingga permennya habis. Atau, teman saya lebih suka menggunakan karung, “200 liter beras dibagi ke dalam 5 karung” maka masing-masing karung mendapatkan 40liter beras”. Artinya 200 beras tadi dimasukkan(hingga habis) ke dalam beberapa tempat baru yang disediakan dengan masing-masing tempat mendapatkan besaran yang sama. Nah sekarang, kalau 200liter beras dibagi 0 keranjang, beras itu harus habis tetapi keranjangnya tidak ada( ketika diskusi, sebetulnya saya mau jawab “ya diganti karung aja to” Jhe..he..he) itu artinya beras itu harus musnah (menurut saya). Dalam matematika 0 adalah sebuah bilangan namun beberapa non-matematikawan beranggapaan bahwa nol bukanlah sebuah bilangan karena sesorang tidak mungkin memiliki sesuatu sebanyak nol. (bukankah memiliki sesuatu sebanyak nol ekivalen dengan tidak memiliki apa-apa?….. ini kan dapat dengan sederhana dijelaskan menggunakan logika “implikasi” dan kontraposisinya)

saya menenukan bahwa dengan memaknai konsep ini saya semakin memahami Ke-Maha Absolutan Tuhan. Bahwa pada hakekatnya tidak ada satupun yang dapat memusnahkan massa (yang telah diciptakan Tuhan) di dunia ini. Membagi dengan nol mempunyai makna “memusnahkan apa yang dibagi” oleh karena itu dalam matematika setiap pembagian dengan nol tak terdefinisi. Bagaimana dengan kasus 0/0? Dengan konsep yang sama maka kita akan mendapatkan jawab “nol” atau “tak tentu” bahkan “tak berhingga” banyaknya jawaban yang akan diperoleh. 0/0 dapat diilustrasikan massa dengan besaran nol akan dimasukkan ke dalam keranjang-keranjang (yang tidak ada) sehingga tentu saja hasilnya ya “ketiadaan” itu sendiri. Pada dasarnya berapapun keranjang yang disediakan, ya bisa saja didistribusikan merata massa dengan besaran nol karena akan memberikan hasil yang sama untuk setiap keranjangnya berapun keranjang yang disediakan.

Secara aritmatika, ini lebih mudah dipahami;

0/0 = 1 , karena 0 = 0 x 1; 0/0 = 5 , karena 0 = 5 x 0 dan seterusnya bahkan untuk seluruh anggota bilangan kompleks sekalipun akan memenuhi aturan tersebut.

Masalahnya bagaimana jika pembagian dengan nol dilihat melalui kacamata limit, seperti yang diyakini teman saya, bahwa suatu bilangan yang bukan nol jika dibagi nol maka hasilnya adalah tak hingga. Hal ini sebetulnya menjelaskan limit x à 0 dari 1/x dan ini tidaklah sama dengan konsep pembagian, kenapa? Karena limit itu berlaku pada barisan, yang dapat dipandang sebagai pemetaan dari himpunan bilangan asli ke Riil atau riil dimensi p. Nah, jika nol yang dioperasikan terdapat pada semesta himpunan bilangan bulat maka hal ini tidak bisa dilakukan karena dapat ditemukan lingkungan dari x yang jika terdapat suatu bilangan asli k maka untuk setiap n anggota N, menyebabkan 1/x termuat dalam lingkungan dari x. Nah lho pusingkan?! (saya juga! He..he..he..) maksudnya gini deh,… limit itu intinya adalah nilai pendekatan, jadi x mendekati nol itu tidak berarti x = 0, nah untuk semsta ini tentu saja ada nilai x mendekati nol, contoh 0.0000000000000001 namun pada semesta bilangan bulat nilai ini tidak ada. Nol ya hanya nol.

Rasanya pendapat saya bahwa pembagian bilangan bukan nol dengan nol itu merupakan usaha pemusnahan materi di semesta alam raya sejalan dengan kesepakatan para matematikawan bahwa pembagian dengan nol tidak terdifinisi. Pembagian suatu bilangan bukan nol dengan nol sama artinya dengan memusnahkan total sesuatu materi di alam dunia ini padahal hal ini tidak mungkin terjadi karena pada dasarnya segala yang terdapat didunia tidak dapat musnah tiada begitu saja melainkan hanya berubah bentuk, massa atau energinya, atau hanya sededar berpindah tempat bahkan sesuatu yang tidak terlihat sekalipun seperti angin dan gelombang. Hanya Tuhanlah yang mampu memusnahkan ciptaannya, Dia yang Maha Kuasa menciptakan dari ketiadaan menjadi ada dan akan meniadakan apa yang ada walaupun “Ketiadaan”-Nya tiada meniadakan AdaNya.

Seperti melakukan pembuktian dari pernyataan “ jika x anggota bilangan complek dan x tidak sama dengan nol maka x/0 tidak terdifinisi”( Mengapa saya memilih x yang merupakan anggota bilangan komplek? Karena ini adalah semesta terbesar dari himpunan bilangan yang biasa kita kenal).Dengan teknik reduksio ad absurdum; Andaikan x/0 terdifinisi, misal sama dengan α, maka x/0 = α hal ini menyebabkan x = 0 . ini bertentangan dengan pernyataan bahwa x tidak sama dengan nol. Oleh karena itu pengandaian harus diingkar. Dengan sudut pandang yang lain maka andaikan pembagiansebarang bilangan bukan nol terdifinisi maka artinya kita memusnahkan suatu materi di alam ini, hal ini tidak mungkin karena hanya Tuhan yang mampu melakukannya dengan segala Ke-Maha Besaran-Nya.

(Saya berlindung kepada Tuhan dari segala dampak negatif tulisan ini, semoga dengan pemikiran ini dapat menuntun kita agar bertambah yakin akan Ke-MahaBesaran Tuhan tulisan ini masih akan bertumbuh, ……………… setelah terendap lama, suatu ketika dibulan Mei saya berani mempublikasikannya)

10 thoughts on “Pembagian dengan Nol

  1. Tulisannya bagus, Teh.

    Cukup Menggelitik.

    Saya agak kurang nyaman ketika Anda mengartikan “pembagian dengan nol” dengan “pemusnahan suatu materi”. Terkesan, membagi dengan nol itu menghasilkan ketiadaan.

    Menurut Saya, pemusnahan suatu materi lebih nyaman dianalogikan dengan pembagian tak hingga.

    Jika kita melakukan pembagian dengan dua, maka akan mendapatkan dua bagian yang sama.
    Jika kita melakukan pembagian dengan tiga, maka akan mendapatkan tiga bagian yang sama.

    Begitu pun, jika kita melakukan pembagian tak hingga, maka hasil pembagian itu akan sangat kecil, menuju nol. Seperti memotong roti “teu eureun-eureun”.

    Terimakasih.

  2. Terima Ksih Opan.

    Pendapat Opan bisa saya saya pahami karena memang pembagian dengan nol cenderung tidak dapat menafikkan konsep pembagian dengan konsep tak hingga. Saya sepakat pembagian tak hingga hasilnya akan mendekati nol. namun perlu di catat bahwa hal ini masih dapat dilakukan. Dan menurut hemat saya hal ini jelas masih dapat dilakukan, secara filosofis bukan merupakan “pemusnahan materi”. karena “pemusnahan materi” yang saya maksud di sini adalah peniadaan materi dari alam semesta yang tidak mungkin dilakukan oleh manusia. Materi yang seolah-olah hilang, atau habis sebetulnya tidak musnah melainkan hanya berubah wujudnya saja sebagi contohnya seperti proses penguapan, pembakaran dan hilangnya suatu benda. Hilangnya suatu benda tidak berarti eksistensi benda tersebut musnah dari muka bumi, melainkan hany aberpindah tempat saja🙂

    Pembagian dengan nol berarti sebuah usaha pemusnahan materi dapat dipahami secara sederhana sebagai berikut: jika suatu benda dibagi x itu berarti benda tersebut didistribusikan secara merata kepada x benda. Nah jika suatu materi dibagi dengan nol berarti tidak ada tempat sama sekali untuk menampung materi tersebut dalam semesta ini. Lalu materi tersebut akan dikemanakan? artinya dalam alam semesta materi tersebut harus dimusnahkan. makna nol dalam konteks tersebut adalah ketiadaaan. Jadi sedikit berbeda dengan pendapat Opan.

    By the way, thanks atas apresiasinya…..

  3. Angka 0 (nol) ini memang sungguh misterius. Memasukkan angka 0 ke dalam sistem perhitungan bukan sekedar tempat kosong.
    Nol berguna untuk membedakan 1,10,100. Nol nyata sebagai angka, tapi perdebatan tak kunjung selasai ketika bilangan 0/0. Hingga kini nol masih berselaput misteri, meskipun saat pertama kali penciptaan manusia, Tuhan sdh mengindikasikan adanya angka 0 di jumlah jemari kaki dan tangan.

  4. Halo ibu, mungkin sesama matematikawan, njenengan akan “tergelitik” saat ada orang yang mengklaim bahwa 0/0 = 1. saat saya menulis ini, sedang terjadi perdebatan yang cukup menarik di sini, karena sebuah tulisan yang berkesimpulan bahwa 0/0 = 1 tadi di sini. sudi kiranya bagi ibu untuk ikut meramaikan perdebatan tersebut. 😀

    namun, menurut saya, ini baik karena melatih otak kita untuk senantiasa berpikir. tadi saya ga sengaja mampir ke sini bu lewat mbah gugel, dengan memberikan komentar lebih dulu di profil njenengan. baiklah, saya akan mencari literatur lagi.

  5. dear bu Hasanah,
    0/0 = 1 atau 0/0 = 5 meskipun sy bukan matematikawan. Tapi cukup menarik pembahasan disini. Saya numpang nyimak..

  6. Konsep pembagian dengan nol merupakan sebuah usaha untuk memusnahkan sebuah materi dari alam semesta menurut saya sebuah ide yang sangat menarik. Salam kenal …

  7. Setuju sekali. Membagi dengan nol bisa mngakibatkan kekacauan berpikir.
    Dan sya senang sekali krna artikel ini bukan hnya sekedar argumen tak berdasar , tapi juga disertai dengan bukti2 yg sistematik.

    Terimakasih . !

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s