Real Analysis in The Real World


Jika terdapat 10 mahasiswa matematika atau pendidikan matematika baik dijenjang strata satu maupun pasca sarjana ditanya, mata kuliah apa yang paling sulit? Saya yakin setidaknya 9 dari 10 mahasiswa akan menjawab “Analisis Real” betul ndak? Tidak percaya?! Coba saja survey sendiri,…. He…he..he… bahkan sekarangpun saya yang cukup mengandrungi mata kuliah ini mengakui bahwa memang tidak mudah untuk bisa menguasainya walaupun rasanya sungguh lezat dan menggoda,…..

Kebetulan di bandung ini, dosen Real saya cukup kreatif dalam menyampaikan konsep-konsep abstrak yang sering buat kening berkerut-kerut atau bahkan sakit perut seperti yang dialami salah seorang teman sekelas saya setiap tiba mata kuliah ini,.. he..he..he… dasyat ya?! Beliau, dosen saya seringkali memberikan ilustrasi-ilustrasi dari konteks kehidupan sehari-hari berkaitan dengan konsep yang cukup abstrak. Bahkan tugas akhir kamipun harus membuat sebuah makalah tentang aplikasi dari konsep-konsep abstrak tersebut dalam kehidupan sehari-hari beserta sebuah poster yang bertema analog.

Sempat terkejut juga ketika ternyata saya menemukan begitu banyak konteks-konteks nyata yang dapat membantu menjelaskan keabstrakan dari konsep-konsep dalam analisis real. Berikut beberapa saja yang ingin saya ungkapkan;

Konsep waktu dengan sistem bilangan real

Dalam sistem bilangan realterdapat suatu sifat urutan yang dinyatakan dalam pernyataan sebagai berikut;

Sifat urutan dari himpunan Real

Jika P adalah himpunan tak kosong subset dari R, maka P disebut himpunan bilangan positif kuat apabila memenuhi syarat sebagai berikut;

(i) Jika a, b anggota dari P , maka a +b juga anggota dari P

(ii) Jikaa, b anggota dari P, makaa.b juga anggota dari P

(iii) Jika a anggota dari P, maka dengan tepat satu dari relasi berikut haruus dipenuhi; a Є P,a = 0 , – aЄ P

Sedangkan beberapa definisi tentang waktu antara lain;

  • Rangkaian yang bebas ruang dimana kejadian-kejadian terjadi dalam satu rangkaian yang tidak dapat berubah kembali sejak masa lalu, masa sekarang serta masa yang akan datang
  • Sebuah system dimana interval-interval dihitung atau dihubungkan dengan bilangan-bilangan
  • Sebuah bilangan yang maknanya dapat berupa tahun, hari atau menit.

Berdasarkan definisi-definisi di atas dapat disusun sebuah definisi waktu sebagai berikut;

Definisi waktu

Waktu adalah sebuah system yang terdiri dari serangkaian kejadian-kejadian bebas ruang yang terjadi dalam suatu rangkaian tertentu yang tidak dapat berubah serta dapat dinyatakan dalam sebuah interval dengan ukuran-ukuran tertentu yang dapat disimbolkan dengan sebuah bilangan.

Jika dicermati dari definisi 1 tentang waktu maka dapat dikaji bahwa waktu dapat dianalogikan dengan himpunan bilangan real serta memiliki sifat keter-urutan. Berikut penjelasannya;

Andaikan W adalah sebuah system waktu dan H adalah subset dari W, merupakan himpunan kejadian-kejadian yang dalam sebuah interval tertentudengan ukuran tahun maka dapat ditunjukkan bahwa H memenuhi sifat keterurutan.

(i) Jika v dan w adalah sebarang waktu yang dinyatakan dalam ukuran tahun anggota dari H maka v + wadalah juga sebuah satuan waktu yang juga anggota dari Hyaitu himpunan waktu yang dinyatakan dalam ukuran tahun. Yang dapat dijelaskan sebagai rangkaian kejadian v dan w yang terjadi dalam interval yang dinyatakan dalam ukuran tahun.

(ii) Jika v dan w adalah sebarang tahun yang dinyatakan dalam ukuran tahunanggota dari H maka v. w adalah juga sebuah satuan waktu yang juga anggota dari H. Hal ini dapat dijelaskansebagai sebuah upaya pengulangan kejadian pada interval waktu tertentu dalam ukuran tahun.

(iii) Jika v adalah sebuah anggota dari H maka berlaku sifat trikotomi di sini yaitu dapat dianalogikan sebagai berikut;

v anggota dari H yang berarti kejadian v terjadi “saat itu” atau “tahun itu”yang menunjukkan berada pada suatu interval yang termuat dalam H

v = 0 yang dapat dijelaskan berarti terjadi “saat ini” atau “tahun yang berjalan”

– v anggota dari H yang berarti yang berarti tidak terjadi kejadian v pada “ saat itu” atau “tahun itu” yang berada dalam interval H.

Berdasatkan uraian di atas maka dapat disimpulkan dalam waktu juga berlaku sifat keterurutan analog dengan sifat uurutan yang terjadi dalam system bilangan real.

Batas atas dan batas bawah

dalam system bilangan real terdapat sifat yang kenal sebagai sifat kelengkapan dari bilangan real.

JikaS adalah subset dari R maka;

(i). Sebuah elemen u anggota dari R dikatakan batas atas apabila s ≤ u untuk setiap s anggota S

(ii). Sebuah elemen w anggota dari R dikatakan batas bawah apabila s ≥ u untuk setiap s anggota S

(iii). Jika S terbatas di atas, sebuah batas atas dari S dikatakan sebagai supremum dari S apabila batas atas tersebut lebih kecil dari sebarang batas atas dari S

(iv). Jika S terbatas di bawah, sebuah batas bawah dari S dikatakan infimum dari S apabila batas bawah tersebut lebih besar dari sebarang batas bawah S

Jika ditinjau dari definisi konsep waktu maka sifat-sifat kelengkapan dalam real dapat diaplikasikan dalam banyak konteks yang berkaitan dengan waktu. Sebagai contoh sederhana adalah konteks usia manusia yang berkaitan dengan waktu.

Manusia hidup di dunia dalam interval waktu tertentu, sesuai dengan teori dalam ilmu kedokteran dan agama maka sesungguhnya sejak dalam kandungan manusia sudah dapat dikatakan hidup dalam yang memiliki arti bernyawa. Maka, dapat dianalogikan bahwa batas bawah usia seorang manusia yang hidup adalah masa kehidupan dalam kandungan selama kurang lebih 9 bulan, kemudian batas atas dari usia manusia adalah masa sesudah kematian atau sudah tidak lagi bernyawa hingga suatu saat nanti akan mengalami fase kehidupan yang lain*)<!–[if !supportFootnotes]–>[1]<!–[endif]–>. Berikut ilustrasi dalam sebuah garis kehidupan manusia

Dari gambar tersebut dapat dilihat konsep dalam kehidupan yang sangat dekat dengan manusia sebagai individu sekaligus mahluk Tuhan memiliki batas bawah serta batas atas atas usia yang berkaitan erat dengan konsep waktu. Selain itu, dari gambar juga dapat terlihat dengan jelas bahwa “kelahiran” merupakan batas bawah terbesar dari interval “kehidupan manusia di dunia” dan “kematian” merupakan batas atas terkecil dari “kehidupan manusia di dunia”.Konsep ini berlaku untuk setiap manusia yang hidup di dunia.

Konsep ini sesuai dengan firman Allah swt dalam surat Al-Mukmin : 67 ;

Dia-lah yang menciptakan kamu dari tanah kemudian dari setetes, air mani, sesudah itu dari segumpal darah, kemudian dilahirkannya kamu sebagai seorang anak, kemudian (kamu dibiarkan hidup) supaya kamu sampai kepada masa (dewasa), kemudian (dibiarkan kamu hidup lagi) sampai tua, di antara kamu ada yang diwafatkan sebelum itu. (Kami perbuat demikian) supaya kamu sampai kepada ajal yang ditentukan dan supaya kamu memahami (nya)

Nah, apakah kita sudah paham ternyata dalam bait di atas ternyata terkandung makna yang dalam tentang arti perjalanan hidup manusia?! Yang ternyata juga dapat dianalogikan dengan konsep supremum dan infimum dalam topologi ruang kartesius sebagian dari Analisis real.

Selain dalam konteks kehidupan manusia, konsep sifat kelengkapan dari real ini juga dapat digunakan untuk mengkaji tentang awal dan akhir dari dunia yang mungkin menjadi pertanyaan banyak manusia. Mau coba?1 Silahkan saja, tidak rumit kok. Atau mau memcoba memberi contoh lain?…… ternyata banyak lho,….. bahkan dalam sarapan pagipun saya bisa melihatnya lho….

Nah, setuju kan kalau ternyata Analisis real itu terlihat lebih sederhana ketika dilirik dari kaca mata dunia sekitar kita

Hal ini sesuai dengan keyakinan penulis bahwa akan terdapat fase kehidupan yang lain

31 thoughts on “Real Analysis in The Real World

  1. Saya minta tolong sekali sama mba hasanah,
    tolongin dong saya mencari judul seminar matakuliah analisis matematika yang mudah dipahami,saya kewalahan harus membuktikan teorema2 yg rumit.
    tolongin saya ya mba hasanah.
    terimakasih sebelumnya.

  2. To: Saudara Annisah, S.Pd

    Sebuah himpunan(dengan semesta Real) dikatakan terbatas jika himpunan tersebut mempunyai batas atas dan batas bawah.
    contoh himpunan terbatas ; P := {x| 0< x <1} , himpunan P adalah himpunan terbatas karena memiliki batas atas 1 dan batas bawah 0.

    Untuk penjelasan detil, Saudara bisa membaca buku “The element of Real Analysis” karya Robert G Bartle, hal 37 pada buku edisi kedua.
    Semoga penjelasan singkat ini dapat membantu Saudara. l

  3. Assalammualaikum.Wr.Wb mbak saya mau minta penjelasan tentang sifat2 nilai mutlak khususnya ketaksamaan segitiga dan beserta pembuktiannya.Trims.

  4. mbak… ada ga aplikasi real yang kira2 lebih menarik dan bisa dibahas lebih banyak???
    sy sih ngebet banget ma analisis real…tapi ya itu,,,sy msh kurang paham..jd ga bisa nemuin sendiri…
    tolong sy ya kalo ada ide…
    kalo bisa,,,lwat email sy aja ya mbak…
    bantuan mbak akan sangat membantu sy…trims!!!!!!

  5. To : Budi Suprihati

    To: Saudara Budi Suprihadi

    Wa’alaikumsalam,….

    Berikut ini adalah Pengertian nilai mutlak berdasarkan literature yang saya baca;

    Jika a adalah anggota Real, maka nilai mutlak dari a yang dinotasikan |a| didefinisikan sebagai ;
    |a| = a jika a lebih besar sama dengan nol
    = -a jika a kurang dari nol
    domain dari fungsi nilai mutlak adalah seluruh anggota Real, dan range P U {0}
    Namun jika dicermati lebih jauh, pada hakikatnya nilai mutlak itu merepresentasikan sebuah besaran yang berupa resultan. Dalam kehidupan nyata, dapat diilustrasikan dengan seorang yang berjalan maju untuk nilai positif dan berjalan mundur untuk nilai negative dengan jarak yang sama.

    Sedangkan Sifat-sifatnya sebagai berikut;
    • |a| = 0 jika dan hanya jika a = 0
    • |-a| = |a| Untuk setiap a anggota R
    • |ab| = |a||b|, untuk setiap a, b anggota R
    • Jika c lebih besar sama dengan nol, maka |a| kurang dari sama dengan c jika dan hanya jika a lebih besar sama dengan –c dan kurang dari sama dengan c.
    • a lebih besar sama dengan – |a| dan kurang dari sama dengan |a| untuk semua nilai a anggota R
    Untuk penjelasan tentang pembuktian ketaksamaan segitiga, terus terang saya masih kesulitan untuk dapat menuliskan pembuktiannya dalam blog ini karena melibatkan symbol-simbol matematika yang cukup banyak dan saya belum dapat menemukan caranya agar dapat menuliskannya dalam blog ini.  Mohon maaf. Barangkali ada yang punya saran untuk saya?
    Tapi kalau mau melihat dibeberapa situs sudah ada yang membahasanya dengan lengkap kok. Coba kunjungi http://math.ucsd.edu/~wgarner/math4c/derivations/other/triangleinequal.htm

    To : Dek Yani

    Wah,… ternyata ada juga yang ngebet sama Analisis Real ya?!🙂 salut deh! Ok IA saya kirimkan via email jawabnya. Mohon bersabar ya🙂

  6. he….he… he… setuju deh. lah wong yang real di analisis saja susah apalagi yang abstrak ya?!🙂

    Hm,..jika terdapat dua pernyataan berikut, kira-kira mana ya yang lebih tepat Mas Aria?

    Tidak ada kajian yang tidak susah dalam matematika

    atau

    semua kajian dalam matematika tidak mudah.
    🙂

  7. analisis real….tetep ga mudeng….wakakakak..btw salutlah buat orang2 yang mudeng dengan real…

    keep forward eh salah keep figthing!!!!

  8. Iya sih betul banget bung Azzam, Analisis Real tuh bikin kepala pusing🙂
    Oya,.. jangan terkecoh ya,… saya membuat tulisan ini bukan karena saya mudheng lho… tapi salah satu usaha supaya bisa mudheng juga🙂

  9. mbak bisa minta tolong ga, ne q kesulitan dalam mencari penjelasan yang lebih lengkap tentang supremum infimum, kira-kira mbak bisa bantu???????????????

  10. wah…kalau mbak yang jadi dosen kami, pasti kami gak akan sakit perut saat tiba mata kuliah ini.
    bantu buktiin dong..
    a1,…an dalam R maka:
    nilai mutlak (a1+ …+an)<=nilai mutlak a1+…+nilai mutlak an
    maaf penulisan simbol seadanya.

  11. bantu dong…….
    cari grup, dimana a,b ada digrup tersebut disehingga order a = order b = 2 dan order(ab) = 3
    terima kasih……

  12. mikum…
    mba mw nanya…
    slain yang dijelaskan di atas, ada gx konsep infimum dan supremum dalam kehidupan nyata yang lain…
    mohon bantuannya….
    makasih…^^

  13. Makasi bnyk sblmnya, blog ini banyak membantu
    sy jg skrg d beri tgs aplikasi real analysis dlm Kehidupan sehari-hari u/ tgs UAS, wah lumayan juaaaangggaarrr… Alias pusing pangkat tak ternilai…
    Lumayan dah dpt gambaran c,,
    v ttp puzzzinkkk…

  14. Makasi bnyk sblmnya, blog ini banyak membantu
    sy jg skrg d beri tgs aplikasi real analysis dlm Kehidupan sehari-hari u/ tgs UAS, wah lumayan juaaaangggaarrr… Alias pusing pangkat tak ternilai…
    Lumayan dah dpt gambaran c,,
    v ttp puzzzinkkk…
    Bs minta tlg contoh yg lain nya bu!!!

  15. Tulisan ini bertujuan untuk menginspirasi,…. jadi harapannya dengan membaca tulisan ini pembaca dapat membuat contoh yang lain. Nanti kalau saya berikan contoh lagi, yang dapat nilai bagus saya terus donk…..:)
    Selamat mencoba ya….

  16. Ya tentunya masih banyak dong,….
    kalau saya tuliskan nanti lalu kapan bagian Anda untuk belajar?….. coba deh dicari sendiri dulu, karya sendiri lebih memuaskan lho🙂

  17. Kalau referensinya saya tidak punya, tapi kalau idenya masih ada beberapa yang bisa digunakan. banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang bisa dibuat contoh coba dicari sendiri dulu. kalau ketemu baru didiskusikan saya membuat tulisan ini tujuannya justru untuk menginspirasi agar pembaca dapat ide-ide segar lainnya.🙂

  18. assalamu’alaikum.. mbak,, artikelnya membantu sekali. kebetulan saya ada tugas analisis real jg. makasih..

  19. bu, tolong donk kirimin contoh soal dan pembahasan tentang analisis real dalam kehidupan sehari-hari. hehehe

  20. Yah,.. artikel ini saya tulis memang dengan tujuan membantu,…. kalau contohnya saya berikan lagi namanya saya dong yang mengerjakan tugasmu😀 coba deh dipikir2 lagi pasti dapat contoh lain yg lebih ok. Sukses ya buat tugasnya!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s