Real Analysis

Jika terdapat 10 mahasiswa matematika atau pendidikan matematika baik dijenjang strata satu maupun pasca sarjana ditanya, mata kuliah apa yang paling sulit? Saya yakin setidaknya 9 dari 10 mahasiswa akan menjawab “Analisis Real” betul ndak? Tidak percaya?! Coba saja survey sendiri,…. He…he..he… bahkan sekarangpun saya yang cukup mengandrungi mata kuliah ini mengakui bahwa memang tidak mudah untuk bisa menguasainya walaupun rasanya sungguh lezat dan menggoda,…..

Kebetulan di bandung ini, dosen Real saya cukup kreatif dalam menyampaikan konsep-konsep abstrak yang sering buat kening berkerut-kerut atau bahkan sakit perut seperti yang dialami salah seorang teman sekelas saya setiap tiba mata kuliah ini,.. he..he..he… dasyat ya?! Beliau, dosen saya seringkali memberikan ilustrasi-ilustrasi dari konteks kehidupan sehari-hari berkaitan dengan konsep yang cukup abstrak. Bahkan tugas akhir kamipun harus membuat sebuah makalah tentang aplikasi dari konsep-konsep abstrak tersebut dalam kehidupan sehari-hari beserta sebuah poster yang bertema analog.

Sempat terkejut juga ketika ternyata saya menemukan begitu banyak konteks-konteks nyata yang dapat membantu menjelaskan keabstrakan dari konsep-konsep dalam analisis real. Berikut beberapa saja yang ingin saya ungkapkan;

Konsep waktu dengan sistem bilangan real

Dalam sistem bilangan realterdapat suatu sifat urutan yang dinyatakan dalam pernyataan sebagai berikut;

Sifat urutan dari himpunan Real

Jika P adalah himpunan tak kosong subset dari R, maka P disebut himpunan bilangan positif kuat apabila memenuhi syarat sebagai berikut;

(i) Jika a, b anggota dari P , maka a +b juga anggota dari P

(ii) Jikaa, b anggota dari P, makaa.b juga anggota dari P

(iii) Jika a anggota dari P, maka dengan tepat satu dari relasi berikut haruus dipenuhi; a Є P,a = 0 , – aЄ P

Sedangkan beberapa definisi tentang waktu antara lain;

Rangkaian yang bebas ruang dimana kejadian-kejadian terjadi dalam satu rangkaian yang tidak dapat berubah kembali sejak masa lalu, masa sekarang serta masa yang akan datang
Sebuah system dimana interval-interval dihitung atau dihubungkan dengan bilangan-bilangan
Sebuah bilangan yang maknanya dapat berupa tahun, hari atau menit.

Berdasarkan definisi-definisi di atas dapat disusun sebuah definisi waktu sebagai berikut;

Definisi waktu

Waktu adalah sebuah system yang terdiri dari serangkaian kejadian-kejadian bebas ruang yang terjadi dalam suatu rangkaian tertentu yang tidak dapat berubah serta dapat dinyatakan dalam sebuah interval dengan ukuran-ukuran tertentu yang dapat disimbolkan dengan sebuah bilangan.

Jika dicermati dari definisi 1 tentang waktu maka dapat dikaji bahwa waktu dapat dianalogikan dengan himpunan bilangan real serta memiliki sifat keter-urutan. Berikut penjelasannya;

Andaikan W adalah sebuah system waktu dan H adalah subset dari W, merupakan himpunan kejadian-kejadian yang dalam sebuah interval tertentu dengan ukuran tahun maka dapat ditunjukkan bahwa H memenuhi sifat keterurutan.

(i) Jika v dan w adalah sebarang waktu yang dinyatakan dalam ukuran tahun anggota dari H maka v + wadalah juga sebuah satuan waktu yang juga anggota dari Hyaitu himpunan waktu yang dinyatakan dalam ukuran tahun. Yang dapat dijelaskan sebagai rangkaian kejadian v dan w yang terjadi dalam interval yang dinyatakan dalam ukuran tahun.

(ii) Jika v dan w adalah sebarang tahun yang dinyatakan dalam ukuran tahunanggota dari H maka v. w adalah juga sebuah satuan waktu yang juga anggota dari H. Hal ini dapat dijelaskansebagai sebuah upaya pengulangan kejadian pada interval waktu tertentu dalam ukuran tahun.

(iii) Jika v adalah sebuah anggota dari H maka berlaku sifat trikotomi di sini yaitu dapat dianalogikan sebagai berikut;

v anggota dari H yang berarti kejadian v terjadi “saat itu” atau “tahun itu”yang menunjukkan berada pada suatu interval yang termuat dalam H

v = 0 yang dapat dijelaskan berarti terjadi “saat ini” atau “tahun yang berjalan”

– v anggota dari H yang berarti yang berarti tidak terjadi kejadian v pada “ saat itu” atau “tahun itu” yang berada dalam interval H.

Berdasatkan uraian di atas maka dapat disimpulkan dalam waktu juga berlaku sifat keterurutan analog dengan sifat uurutan yang terjadi dalam system bilangan real.

Batas atas dan batas bawah

dalam system bilangan real terdapat sifat yang kenal sebagai sifat kelengkapan dari bilangan real.

Jika S adalah subset dari R maka;

(i). Sebuah elemen u anggota dari R dikatakan batas atas dari S apabila s ≤ u untuk setiap s anggota S

(ii). Sebuah elemen w anggota dari R dikatakan batas bawah dari S apabila w ≤ s untuk setiap s anggota S

(iii). Jika S terbatas di atas, sebuah batas atas dari S dikatakan sebagai supremum dari S apabila batas atas tersebut lebih kecil dari sebarang batas atas dari S

(iv). Jika S terbatas di bawah, sebuah batas bawah dari S dikatakan infimum dari S apabila batas bawah tersebut lebih besar dari sebarang batas bawah S

Jika ditinjau dari definisi konsep waktu maka sifat-sifat kelengkapan dalam real dapat diaplikasikan dalam banyak konteks yang berkaitan dengan waktu. Sebagai contoh sederhana adalah konteks usia manusia yang berkaitan dengan waktu.

Manusia hidup di dunia dalam interval waktu tertentu, sesuai dengan teori dalam ilmu kedokteran dan agama maka sesungguhnya sejak dalam kandungan manusia sudah dapat dikatakan hidup dalam yang memiliki arti bernyawa. Maka, dapat dianalogikan bahwa batas bawah usia seorang manusia yang hidup adalah masa kehidupan dalam kandungan selama kurang lebih 9 bulan, kemudian batas atas dari usia manusia adalah masa sesudah kematian atau sudah tidak lagi bernyawa hingga suatu saat nanti akan mengalami fase kehidupan yang lain*)<!–[if !supportFootnotes]–>[1]<!–[endif]–>. Berikut ilustrasi dalam sebuah garis kehidupan manusia

Dari gambar tersebut dapat dilihat konsep dalam kehidupan yang sangat dekat dengan manusia sebagai individu sekaligus mahluk Tuhan memiliki batas bawah serta batas atas atas usia yang berkaitan erat dengan konsep waktu. Selain itu, dari gambar juga dapat terlihat dengan jelas bahwa “kelahiran” merupakan batas bawah terbesar dari interval “kehidupan manusia di dunia” dan “kematian” merupakan batas atas terkecil dari “kehidupan manusia di dunia”.Konsep ini berlaku untuk setiap manusia yang hidup di dunia.

Konsep ini sesuai dengan firman Allah swt dalam surat Al-Mukmin : 67 ;

“Dia-lah yang menciptakan kamu dari tanah kemudian dari setetes, air mani, sesudah itu dari segumpal darah, kemudian dilahirkannya kamu sebagai seorang anak, kemudian (kamu dibiarkan hidup) supaya kamu sampai kepada masa (dewasa), kemudian (dibiarkan kamu hidup lagi) sampai tua, di antara kamu ada yang diwafatkan sebelum itu. (Kami perbuat demikian) supaya kamu sampai kepada ajal yang ditentukan dan supaya kamu memahami (nya)”

Nah, apakah kita sudah paham ternyata dalam bait di atas ternyata terkandung makna yang dalam tentang arti perjalanan hidup manusia?! Yang ternyata juga dapat dianalogikan dengan konsep supremum dan infimum dalam topologi ruang kartesius sebagian dari Analisis real.

Selain dalam konteks kehidupan manusia, konsep sifat kelengkapan dari real ini juga dapat digunakan untuk mengkaji tentang awal dan akhir dari dunia yang mungkin menjadi pertanyaan banyak manusia. Mau coba?1 Silahkan saja, tidak rumit kok. Atau mau memcoba memberi contoh lain?…… ternyata banyak lho,….. bahkan dalam sarapan pagipun saya bisa melihatnya lho….

Nah, setuju kan kalau ternyata Analisis real itu terlihat lebih sederhana ketika dilirik dari kaca mata dunia sekitar kita

Hal ini sesuai dengan keyakinan penulis bahwa akan terdapat fase kehidupan yang lain

Hasanahworld

Notes of a woman, a mom, a learner & an educator

Real Analysis Poster

Real Analysis in The Real World